Le travail
Aller directement au contenu
Le travail est un transfert d’énergie. Un objet fournit un travail (et perd ainsi de
l’énergie) lorsqu’il exerce une force le long d’un déplacement. En mécanique,
ce travail est quantifié à l’aide de vecteurs :
\begin{equation}
W \equiv \vec F \cdot \vec l \label{def_travail}
\end{equation}
- où $W$ est le travail (J),
- $\vec F$ le vecteur représentant la force (de norme $F$ en N),
- et $\vec l$ le vecteur représentant le déplacement effectué (de norme $l$ en m).
En thermodynamique, nous allons utiliser cette équation $\ref {def_travail}$ pour quantifier le
travail effectué par des fluides. Pour cela nous allons la ré-écrire en ajoutant
trois particularités :
- Nous mesurerons le déplacement avec la longueur de l’objet qui
fournit le travail ;
- Nous ne nous intéresserons qu’aux cas où les vecteurs $\vec F$ et $\vec l$ sont
colinéaires ;
- Nous tiendrons compte du fait que $\vec F$ peut varier en fonction de $\vec l$.
Avec ces trois contraintes l’équation $\ref {def_travail}$ devient :
\begin{equation*}
W_\fromatob = \int_\A^\B {\vec F \cdot \diff \vec l}
\end{equation*}
Comme $\tdiff \vec l$ est mesuré à partir de la longueur de l’objet qui travaille, $\tdiff l$ sera
négatif lorsque $W$ est positif (l’objet recevant alors du travail, en voyant sa
longueur diminuer). Enfin, $\vec F$ étant dans notre cas toujours colinéaire à $\tdiff \vec l$, nous
pouvons écrire :
\begin{equation}
W_\fromatob = -\int_\A^\B {F \diff l}
\label{eq_travail_fdl}
\end{equation}
- où $W_\fromatob $ est le travail effectué entre deux points A et B (J),
- $F$ est la force (N),
- et $\tdiff l$ est la variation infinitésimale de la longueur de l’objet considéré
(m).
Sur un graphique représentant la force en fonction de la distance, ce travail $W_\fromatob $
est représenté par la surface sous la courbe de A à B (figure 3 ci-dessous). La
géométrie de la courbe, c’est-à-dire la relation $F_{(l)}$ entre $F$ et $l$ au fur et à mesure
de l’évolution, déterminera la quantité $W_\fromatob $.
Un exemple résolu pour illustrer
Un ressort est comprimé depuis une longueur de 30 cm jusqu’à une
longueur de 5 cm. Le ressort est tel qu’il exerce une force (en newtons)
indépendante de sa longueur et égale à :
\begin{equation*}
F_{(l)} = \num[output-decimal-marker = {,}]{6e3}~\si{\newton}
\end{equation*}
Quelle est l’énergie fournie au ressort sous forme de travail pendant la
compression ?
Réponse :
Le transfert de travail s’obtient avec l’équation $\ref {eq_travail_fdl}$, en prenant soin de poser les
bornes en unités si : $ W_\fromatob = - \int _\A ^\B F_{(l)} \diff l = - \int _\A ^\B \num [output-decimal-marker = {,}]{6e3} \diff l = - \num [output-decimal-marker = {,}]{6e3} \int _\A ^\B \diff l = - \num [output-decimal-marker = {,}]{6e3} \left [l\right ]_{l_\A }^{l_\B } = -\num [output-decimal-marker = {,}]{6e3} (\num [output-decimal-marker = {,}]{0,05} - \num [output-decimal-marker = {,}]{0,3}) = \num [output-decimal-marker = {,}]{+1,5e3}~\si {\joule } = \num [output-decimal-marker = {,}]{+1,5}~\si {\kilo \joule }.$
Un exemple résolu pour illustrer
Un autre ressort est comprimé depuis une longueur de 30 cm jusqu’à une
longueur de 5 cm. Il est tel qu’il exerce une force (en N) liée à sa longueur $l$
(en m) par la relation :
\begin{equation*}
F_{(l)} = \num[output-decimal-marker = {,}]{9e3} - \num[output-decimal-marker = {,}]{14e3} \ l
\end{equation*}
Quelle est l’énergie fournie au ressort sous forme de travail pendant la
compression ?
Réponse :
Le travail effectué s’obtient toujours avec l’équation $\ref {eq_travail_fdl}$, dont l’intégrale est
à peine plus complexe : $ W_\fromatob = - \int _\A ^\B (\num [output-decimal-marker = {,}]{9e3} - \num [output-decimal-marker = {,}]{14e3} l) \diff l = - \left [\num [output-decimal-marker = {,}]{9e3} \ l - \frac {1}{2} \num [output-decimal-marker = {,}]{14e3} \ l^2\right ]_{l_\A }^{l_\B } = -\num [output-decimal-marker = {,}]{e3} \left [9 l - 7 l^2\right ]_{\num [output-decimal-marker = {,}]{0,3}}^{\num [output-decimal-marker = {,}]{0,05}} = -\num [output-decimal-marker = {,}]{e3} (\num [output-decimal-marker = {,}]{0,4325} - \num [output-decimal-marker = {,}]{2,07}) = \num [output-decimal-marker = {,}]{+1,6375e3}~\si {\joule } = \num [output-decimal-marker = {,}]{+1,638}~\si {\kilo \joule }.$
Un exemple résolu pour illustrer
Un dernier ressort est comprimé depuis une longueur de 30 cm jusqu’à une
longueur de 5 cm. Il est tel qu’il exerce une force (en N) liée à sa longueur $l$
(en m) par la relation :
\begin{equation*}
F_{(l)} = \num[output-decimal-marker = {,}]{14e3} - \num[output-decimal-marker = {,}]{12e3} \ l^{\num[output-decimal-marker = {,}]{0,3}}
\end{equation*}
Quelle est l’énergie fournie au ressort sous forme de travail pendant la
compression ?
Réponse :
Le travail effectué s’obtient encore et toujours avec l’équation $\ref {eq_travail_fdl}$,
$ W_\fromatob = - \int _\A ^\B (\num [output-decimal-marker = {,}]{14e3} - \num [output-decimal-marker = {,}]{12e3} \ l^{\num [output-decimal-marker = {,}]{0,3}}) \diff l = - \num [output-decimal-marker = {,}]{e3} \left [\num [output-decimal-marker = {,}]{14} \ l - \frac {1}{\num [output-decimal-marker = {,}]{0,3}+1} 12 \ l^{\num [output-decimal-marker = {,}]{0,3}+1} \right ]_{\num [output-decimal-marker = {,}]{0,3}}^{\num [output-decimal-marker = {,}]{0,05}} = -\num [output-decimal-marker = {,}]{e3} \ (\num [output-decimal-marker = {,}]{0,5121} - \num [output-decimal-marker = {,}]{2,2703}) = \num [output-decimal-marker = {,}]{+1,7582e3}~\si {\joule } = \num [output-decimal-marker = {,}]{+1,758}~\si {\kilo \joule }.$