Le travail
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Un extrait du livre Thermodynamique de l’ingénieur par Olivier Cleynen (Thermodynamique.fr, 2021, isbn 9781794848207, 3e éd.)
Le travail est un transfert d’énergie. Un objet fournit un travail (et perd ainsi de l’énergie) lorsqu’il exerce une force le long d’un déplacement. En mécanique, ce travail est quantifié à l’aide de vecteurs :
\begin{equation} W \equiv \vec F \cdot \vec l \label{def_travail} \end{equation}- où $W$ est le travail (J),
- $\vec F$ le vecteur représentant la force (de norme $F$ en N),
- et $\vec l$ le vecteur représentant le déplacement effectué (de norme $l$ en m).
En thermodynamique, nous allons utiliser cette équation $\ref {def_travail}$ pour quantifier le travail effectué par des fluides. Pour cela nous allons la ré-écrire en ajoutant trois particularités :
- Nous mesurerons le déplacement avec la longueur de l’objet qui fournit le travail ;
- Nous ne nous intéresserons qu’aux cas où les vecteurs $\vec F$ et $\vec l$ sont colinéaires ;
- Nous tiendrons compte du fait que $\vec F$ peut varier en fonction de $\vec l$.
Avec ces trois contraintes l’équation $\ref {def_travail}$ devient :
\begin{equation*} W_\fromatob = \int_\A^\B {\vec F \cdot \diff \vec l} \end{equation*}Comme $\tdiff \vec l$ est mesuré à partir de la longueur de l’objet qui travaille, $\tdiff l$ sera négatif lorsque $W$ est positif (l’objet recevant alors du travail, en voyant sa longueur diminuer). Enfin, $\vec F$ étant dans notre cas toujours colinéaire à $\tdiff \vec l$, nous pouvons écrire : \begin{equation} W_\fromatob = -\int_\A^\B {F \diff l} \label{eq_travail_fdl} \end{equation}
- où $W_\fromatob $ est le travail effectué entre deux points A et B (J),
- $F$ est la force (N),
- et $\tdiff l$ est la variation infinitésimale de la longueur de l’objet considéré (m).
Sur un graphique représentant la force en fonction de la distance, ce travail $W_\fromatob $ est représenté par la surface sous la courbe de A à B (figure 3 ci-dessous). La géométrie de la courbe, c’est-à-dire la relation $F_{(l)}$ entre $F$ et $l$ au fur et à mesure de l’évolution, déterminera la quantité $W_\fromatob $.
Figure 3 :
Sur un diagramme force-distance, le travail fourni par un objet
peut être visualisé avec l’aire sous la courbe. Dans le cas montré ici,
l’objet voit sa longueur $l$ augmenter, et le travail sera négatif (fourni par
l’objet).
Un exemple résolu pour illustrer
Un ressort est comprimé depuis une longueur de 30 cm jusqu’à une
longueur de 5 cm. Le ressort est tel qu’il exerce une force (en newtons)
indépendante de sa longueur et égale à :
\begin{equation*}
F_{(l)} = \num[output-decimal-marker = {,}]{6e3}~\si{\newton}
\end{equation*}
Quelle est l’énergie fournie au ressort sous forme de travail pendant la
compression ?
Réponse :
Le transfert de travail s’obtient avec l’équation $\ref {eq_travail_fdl}$, en prenant soin de poser les
bornes en unités si : $ W_\fromatob = - \int _\A ^\B F_{(l)} \diff l = - \int _\A ^\B \num [output-decimal-marker = {,}]{6e3} \diff l = - \num [output-decimal-marker = {,}]{6e3} \int _\A ^\B \diff l = - \num [output-decimal-marker = {,}]{6e3} \left [l\right ]_{l_\A }^{l_\B } = -\num [output-decimal-marker = {,}]{6e3} (\num [output-decimal-marker = {,}]{0,05} - \num [output-decimal-marker = {,}]{0,3}) = \num [output-decimal-marker = {,}]{+1,5e3}~\si {\joule } = \num [output-decimal-marker = {,}]{+1,5}~\si {\kilo \joule }.$
Le signe du travail transféré est positif : le ressort a
reçu de l’énergie. Cela ne nous surprend pas : sa longueur a diminué, pendant
qu’il se faisait comprimer.
Les ressorts possédant une telle caractéristique (indépendante de leur
longueur) sont souvent des ressorts en ruban, comme ceux alimentant les montres
mécaniques.
Un exemple résolu pour illustrer
Un autre ressort est comprimé depuis une longueur de 30 cm jusqu’à une
longueur de 5 cm. Il est tel qu’il exerce une force (en N) liée à sa longueur $l$
(en m) par la relation :
\begin{equation*}
F_{(l)} = \num[output-decimal-marker = {,}]{9e3} - \num[output-decimal-marker = {,}]{14e3} \ l
\end{equation*}
Quelle est l’énergie fournie au ressort sous forme de travail pendant la
compression ?
Réponse :
Le travail effectué s’obtient toujours avec l’équation $\ref {eq_travail_fdl}$, dont l’intégrale est
à peine plus complexe : $ W_\fromatob = - \int _\A ^\B (\num [output-decimal-marker = {,}]{9e3} - \num [output-decimal-marker = {,}]{14e3} l) \diff l = - \left [\num [output-decimal-marker = {,}]{9e3} \ l - \frac {1}{2} \num [output-decimal-marker = {,}]{14e3} \ l^2\right ]_{l_\A }^{l_\B } = -\num [output-decimal-marker = {,}]{e3} \left [9 l - 7 l^2\right ]_{\num [output-decimal-marker = {,}]{0,3}}^{\num [output-decimal-marker = {,}]{0,05}} = -\num [output-decimal-marker = {,}]{e3} (\num [output-decimal-marker = {,}]{0,4325} - \num [output-decimal-marker = {,}]{2,07}) = \num [output-decimal-marker = {,}]{+1,6375e3}~\si {\joule } = \num [output-decimal-marker = {,}]{+1,638}~\si {\kilo \joule }.$
Les ressorts possédant une telle caractéristique (force
proportionnelle à la distance) sont souvent à spires régulières.
Un exemple résolu pour illustrer
Un dernier ressort est comprimé depuis une longueur de 30 cm jusqu’à une
longueur de 5 cm. Il est tel qu’il exerce une force (en N) liée à sa longueur $l$
(en m) par la relation :
\begin{equation*}
F_{(l)} = \num[output-decimal-marker = {,}]{14e3} - \num[output-decimal-marker = {,}]{12e3} \ l^{\num[output-decimal-marker = {,}]{0,3}}
\end{equation*}
Quelle est l’énergie fournie au ressort sous forme de travail pendant la
compression ?
Réponse :
Le travail effectué s’obtient encore et toujours avec l’équation $\ref {eq_travail_fdl}$,
$ W_\fromatob = - \int _\A ^\B (\num [output-decimal-marker = {,}]{14e3} - \num [output-decimal-marker = {,}]{12e3} \ l^{\num [output-decimal-marker = {,}]{0,3}}) \diff l = - \num [output-decimal-marker = {,}]{e3} \left [\num [output-decimal-marker = {,}]{14} \ l - \frac {1}{\num [output-decimal-marker = {,}]{0,3}+1} 12 \ l^{\num [output-decimal-marker = {,}]{0,3}+1} \right ]_{\num [output-decimal-marker = {,}]{0,3}}^{\num [output-decimal-marker = {,}]{0,05}} = -\num [output-decimal-marker = {,}]{e3} \ (\num [output-decimal-marker = {,}]{0,5121} - \num [output-decimal-marker = {,}]{2,2703}) = \num [output-decimal-marker = {,}]{+1,7582e3}~\si {\joule } = \num [output-decimal-marker = {,}]{+1,758}~\si {\kilo \joule }.$
$ W_\fromatob = - \int _\A ^\B (\num [output-decimal-marker = {,}]{14e3} - \num [output-decimal-marker = {,}]{12e3} \ l^{\num [output-decimal-marker = {,}]{0,3}}) \diff l = - \num [output-decimal-marker = {,}]{e3} \left [\num [output-decimal-marker = {,}]{14} \ l - \frac {1}{\num [output-decimal-marker = {,}]{0,3}+1} 12 \ l^{\num [output-decimal-marker = {,}]{0,3}+1} \right ]_{\num [output-decimal-marker = {,}]{0,3}}^{\num [output-decimal-marker = {,}]{0,05}} = -\num [output-decimal-marker = {,}]{e3} \ (\num [output-decimal-marker = {,}]{0,5121} - \num [output-decimal-marker = {,}]{2,2703}) = \num [output-decimal-marker = {,}]{+1,7582e3}~\si {\joule } = \num [output-decimal-marker = {,}]{+1,758}~\si {\kilo \joule }.$
Les ressorts possédant une telle caractéristique sont à spires progressives :
très souples au départ, mais augmentant rapidement en dureté. Ils sont
souvent utilisés dans les suspensions d’automobiles. Nous verrons au chapitre 2 (Les systèmes fermés) que les gaz ont une caractéristique similaire.
